умови паралельності і перпендикулярності площин

умови паралельності і перпендикулярності площин

Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Нехай задано дві площини П1 і П2 відповідно рівняннями: А1х+В1у+С1z+Д1=0 та А2х+В2у+С2 z+Д2=0. Двогранний кут між площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює куту між нормальними векторами n1=(А1; В1; С1) та n2=(А2; В2; С2) цих площин.  Якщо площини П1 та П2 паралельні, то координати нормальних векторів пропорційні, тобто умовою паралельності площин є рівність відношень: (32). Відстань від точки до площини. Якщо задане рівняння Ах+Ву+Сz+D=0 площини П і точка Мо (хо, уо, zо), що не лежить на цій площині, то відстань d від точки Мо до площини П знаходиться за формулою: d= (33).

Ознака перпендикулярності площин. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Теорема. Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини. Через точку поза площиною можна провести безліч площин перпендикулярних до цієї площини, але всі вони пройдуть через перепендикулярну до цієї площини пряму яка проходить через дану точку. 10 клас. Урок 1. Перпендикулярність площин.

5.1. Умови взаємної інцидентност і, паралельності та перпендикулярності як параметри. Точка, пряма та площина попарно можуть бути інцидентними, паралельними або взаємно перпендикулярними. Ці три умови еквівалентні заданню певного числа параметрів. Тому, визначаючи загальне число параметрів для комбінацій даного виду, слід враховувати розмірність конкретної умови. Інцидентність.  Паралельність. Можливі три випадки паралельності: двох прямих; прямої та площини; двох площин. Паралельність двох прямих на площині еквівалентна заданню одного параметра. Тому для зображення прямої Ь, паралельної прямій а, досить одного параметра (рис. 5.2).

Тому умовою паралельності двох площин є умова колінеарності цих векторів: Коли площини не паралельні, то вони утворюють двогранний кут, що вимірюється гострим лінійним кутом або тупим (Рис.29.1). Один з лінійних кутів гострий або тупий співпадає з кутом між нормальними векторами площин. Рис.29.1. За формулою для визначення кута між векторами маємо: Якщо результат, отриманий за формулою , додатній, то , а якщо від'ємний, то . Умовою перпендикулярності двох площин є умова перпендикулярності їх нормальних векторів: Розв'язання задач на складання рівнянь площини та взаємне розміщення пло

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих в просторі. Нехай задано дві прямі. . Кут між ними обчислюється за формулою. Умова паралельності цих прямих записується у вигляді: а умова перпендикулярності – у вигляді : Приклад 10. Обчислити гострий кут між двома прямими.

Умови паралельності та перпендикулярності площин; Аналітична геометрія у просторі; Скалярні та векторні величини, Лінійні дії над векторами, Проекція векторів. Теореми про проекцію, системи координат. Аналітична геометрія, вектори.  , . Двогранний кут між цими площинами вимірюється лінійним кутом між перпендикулярами, проведеними у кожній з площин до лінії перетину цих площин (рис. 36). Рис. 36. Легко зрозуміти, що цей кут буде співпадати з кутом між нормальними векторами цих площин. А тоді згідно з формулою кута між векторами (див. п.8) маємо: . Якщо площини паралельні, то вектори та колінеарні, і згідно з умовою колінеарності векторів (див. п.7) маємо умову паралельності площин

Умови виконання: малюнок можна виконувати в зошиті від руки повністю або з частковим використанням креслярських приладів. Робота з слайдами відбувається таким чином: спочатку на слайді виводится умова задачі, потім, після виконання учнями малюнка в зошиті, демонструється один з варіантів зображення.  6. Приклади практичного застосування теми паралельності та перпендикулярності прямих та площин. Даний етап уроку є власне демонстрацією презентації з викладенням фактів учителем та паралельними коментарями учнями побаченого та почутого, що дає змогу ознайомити учнів з цілою низкою історичних та розвивальних матеріалів, направлених на реалізацію мети уроку.

Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута. Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує. На малюнку 418 двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута. Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 419). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута. Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута. Приклад. Двогранний кут дорівнює 60º. На одній із граней дано точку, я

Умова паралельності прямої (7.9) і площини (7.10): (7.12). Умови перпендикулярності прямої (7.9) і площини (7.10): (7.13). Зауваження.Щоб знайти точку перетину прямої (7.9) з площиною (7.10), необхідно розв’язати систему, складену з їх рівнянь. Приклад 7.4.Знайти точку перетину прямої з площиною. ► Перетворимо канонічні рівняння прямої у параметричні і підставимо їх у рівняння площини: Координати точки перетину прямої з площиною: Приклад 7.5.У просторі задані чотири точки A1(–1, 2, 3), A2(2, 0, 2), A3(3, -2, 4), A4(5, 1, –1). Необхідно: 1) скласти канонічні рівняння прямих A1A2 і A1A3; 2) знай

Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини γ. Дійсно, візьмемо іншу площину γ1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217). Оскільки с γ та прямі a і b лежать у площині γ і перетинаються в точці А, то с а, с b (за означенням перпендикулярності прямої і площини). Аналогічно с а1, с b1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах α і β. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а b , а || a1 і b || b1, то а1 b1 (теорема 3.1). Розв'язування задач.

Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих. Нехай дві прямі і задані рівняннями. і . Позначимо через.  3.4.2 . Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Розглянемо дві площини (рис.3.13). Очевидно, що величина двогранного кута між двома.

Паралельність площин вивчається за тією самою методичною схемою: після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі формулюється означення паралельних площин. Учні без особливих труднощів з'ясовують два можливі положення і за аналогією з попередніми означеннями паралельності прямої та площини самі формулюють означення паралельних площин.  3. Перпендикулярність площин. Методична схема вивчення кожного блоку така сама, що і в попередній темі. Спочатку вводять означення перпендикулярності відповідних об'єктів, потім формулюють і доводять ознаку їх перпендикулярності.